Уравнение Мещерского

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Для термина «Мещерский» см. также другие значения.

Уравне́ние Меще́рского — основное уравнение в механике тел переменной массы, полученное И. В. Мещерским в 1897 году[1] для материальной точки переменной массы (состава).

Уравнение обычно записывается в следующем виде:

[math]\displaystyle{ M(t) \frac{d\mathbf v }{dt}=\mathbf u_1(t) \frac{dm_1}{dt}- \mathbf u_2(t)\frac{dm_2}{dt}+\mathbf F, }[/math]

где:

  • [math]\displaystyle{ M(t) }[/math] — масса материальной точки, изменяющаяся за счет обмена частицами с окружающей средой, в произвольный момент времени t;
  • [math]\displaystyle{ \mathbf v }[/math] — скорость движения материальной точки переменной массы;
  • [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math] — результирующая внешних сил, действующих на материальную точку переменной массы со стороны её внешнего окружения (в том числе, если такое имеет место, и со стороны среды, с которой она обменивается частицами, например электромагнитные силы — в случае массообмена с магнитной средой, сопротивление среды движению и т. п.);
  • [math]\displaystyle{ \mathbf u_1(t)=\mathbf v_1-\mathbf v }[/math] — относительная скорость присоединяющихся частиц;
  • [math]\displaystyle{ \mathbf u_2(t)=\mathbf v_2-\mathbf v }[/math] — относительная скорость отделяющихся частиц;
  • [math]\displaystyle{ \frac{dm_1}{dt}\gt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{dm_2}{dt}\gt 0 }[/math] — скорость увеличения суммарной массы присоединившихся частиц и скорость увеличения суммарной массы отделившихся частиц соответственно.

Формула Циолковского может быть получена как результат решения этого уравнения.

Величина:

[math]\displaystyle{ \mathbf F_r=\mathbf u_1\frac{dm_1}{dt}-\mathbf u_2\frac{dm_2}{dt} }[/math]

называется «реактивной силой».

Обычно[2][3][4] уравнение Мещерского получают, основываясь на уравнении для скорости изменения импульса системы материальных точек, имеющем вид:

[math]\displaystyle{ \frac{d\vec {P}}{dt}= \vec F, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \vec P }[/math] — импульс системы, равный сумме импульсов всех материальных точек, составляющих систему, а [math]\displaystyle{ \vec F }[/math] — равнодействующая всех внешних сил, действующих на тела системы. Ниже приведён вывод уравнения, использующий именно такой подход.

Вывод уравнения Мещерского

Рассмотрим тело переменной массы [math]\displaystyle{ M=M(t) }[/math]. Пусть за промежуток времени [math]\displaystyle{ dt }[/math] к телу присоединяется малая масса [math]\displaystyle{ dm_1 }[/math], имевшая до присоединения скорость [math]\displaystyle{ \vec{v}_1 }[/math], и отделяется малая масса [math]\displaystyle{ dm_2 }[/math], скорость которой после отделения становится равной [math]\displaystyle{ \vec{v}_2 }[/math]. В качестве интересующей нас системы будем рассматривать все три упомянутые тела.

В соответствии с законом сохранения импульса импульс системы в начале и конце рассматриваемого процесса одинаков:

[math]\displaystyle{ M\vec{v} + dm_1\vec{v}_1 = M\vec{v} + d(M\vec{v})+dm_2\vec{v}_2,\qquad(1) }[/math]

где [math]\displaystyle{ d(M\vec{v}) }[/math] — изменение импульса основного тела, обусловленное как изменением его скорости, так и изменением его массы.

Учитывая, что [math]\displaystyle{ d(M\vec{v})=dM\vec{v}+Md\vec{v} }[/math], из (1) получаем:

[math]\displaystyle{ dm_1\vec{v}_1=dM\vec{v}+Md\vec{v}+dm_2\vec{v}_2.\qquad(2) }[/math]

Изменение массы основного тела [math]\displaystyle{ dM }[/math] связано с [math]\displaystyle{ dm_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ dm_2 }[/math] соотношением [math]\displaystyle{ dM=dm_1-dm_2 }[/math], поэтому из (2) следует:

[math]\displaystyle{ dm_1(\vec{v}_1-\vec{v})=Md\vec{v}+dm_2(\vec{v}_2-\vec{v}).\qquad(3) }[/math]

После перехода от дифференциалов к производным и перегруппировки слагаемых (3) приобретает вид:

[math]\displaystyle{ M\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{dm_1}{dt}(\vec{v}_1-\vec{v})-\frac{dm_2}{dt}(\vec{v}_2-\vec{v}).\qquad(4) }[/math]

Введя относительные скорости частиц [math]\displaystyle{ \vec{u}_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \vec{u}_2 }[/math], равные соответственно [math]\displaystyle{ (\vec{v}_1-\vec{v}) }[/math] и [math]\displaystyle{ (\vec{v}_2-\vec{v}) }[/math], и добавив равнодействующую внешних сил [math]\displaystyle{ \vec{F} }[/math], получим уравнение Мещерского в окончательном виде.

Релятивистское уравнение Мещерского

Первыми работами[5], посвященными исследованию движения ракет с учетом релятивистских эффектов, были работы Аккерета[6] и Зенгера[7].

При выводе уравнения Мещерского, пригодного для случая скоростей, сравнимых со скоростью света, используется выражение для релятивистского импульса [math]\displaystyle{ \vec p=\frac{m\vec v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} }[/math]. В результате уравнение приобретает вид:

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}\left(\frac{M\vec{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)=\vec{v}_1\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{m_1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)-\vec{v}_2\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{m_2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right). }[/math]

В этом уравнении в общем случае не вводятся относительные скорости [math]\displaystyle{ (\vec{v}_1-\vec{v}) }[/math] и [math]\displaystyle{ (\vec{v}_2-\vec{v}) }[/math], так как в релятивистском случае сложение скоростей производится иначе.

Для случая только частиц, отделяющихся со скоростью коллинеарной скорости ракеты, это уравнение сводится к следующему виду:

[math]\displaystyle{ M\frac{dv}{dt}=-\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)u\frac{dM}{dt}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ u=\frac{v_2-v}{1-v_2\cdot v/c^2} }[/math] — скорость частиц относительно ракеты.

История открытия

Уравнение движения материальной точки переменной массы для случая присоединения (или отделения) частиц было получено и основательно исследовано в магистерской диссертации И. В. Мещерского, защищенной в Петербургском Университете 10 декабря 1897 года[8]. Первое сообщение об уравнении движения материальной точки переменной массы в общем случае одновременного присоединения и отделения частиц было сделано И. В. Мещерским 24 августа 1898 года на заседании секции математики и астрономии X съезда русских естествоиспытателей и врачей в Киеве, широкую известность оно получило позднее, после работы «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае», напечатанной в «Известиях Петербургского политехнического института» в 1904 году[9].

Следует отметить, что по исследованиям Г. К. Михайлова, изложенным в его докторской диссертации[10] и работе «Георг Бюкуа и начала динамики систем с переменными массами»[11], аналогичное уравнение было установлено чешским учёным-любителем Георгом Бюкуа (1781—1851) ещё в работах 1812—1814 гг.

Примечания

  1. ↑ Космодемьянский А. А. «Научная деятельность Ивана Всеволодовича Мещерского» стр.9-25 в книге И. В. Мещерский. Работы по механике тел переменной массы. Изд. 1-е. — М.: ГИТТЛ, 1949. стр.13.
  2. ↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Физматлит; Изд-во МФТИ, 2005. — Т. I. Механика. — С. 119-120. — 560 с. — ISBN 5-9221-0225-7.
  3. ↑ Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1986. — С. 287-288. — 416 с.
  4. ↑ Иродов И. Е. Основные законы механики. — М.: Высшая школа, 1985. — С. 41. — 248 с.
  5. ↑ Седов Л. И., Цыпкин А. Г. Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма. — М.: Наука, 1989. Стр.153.
  6. ↑ Aekeret I. Zur Theorie der Raketen // Helv-Physica. Acta.—1946. — T. 19, N 2-P. 103—112.
  7. ↑ Sanger E. Zur Mechanik der Photonen-Strahlantriebe. — Munchen, 1956 (русск. пер.: М.: ИЛ, 1958).
  8. ↑ Мещерский И. В. Работы по механике тел переменной массы. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. — С. 37.
  9. ↑ Мещерский И. В. Работы по механике тел переменной массы. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. — С. 222.
  10. ↑ Развитие основ динамики системы переменного состава и теории реактивного движения. — М.: 1977
  11. ↑ «Исследования по истории физики и механики». Москва: Наука, 1986, с. 191—238

Литература

  • Мещерский И. В. «Динамика точки переменной массы» // В кн. И. В. Мещерский. Работы по механике тел переменной массы. Изд. 2-е. — М.: ГИТТЛ, 1952. — 280 с. стр.37-188.
  • Мещерский И. В., «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае» // В кн. И. В. Мещерский. Работы по механике тел переменной массы. Изд. 2-е. — М.: ГИТТЛ, 1952. — 280 с. стр.222-264.
  • Михайлов Г. К. «К истории динамики систем переменного состава» Известия АН СССР: Механика твердого тела, 1975, № 5, с. 41-51.
  • Михайлов Г. К. К истории динамики систем переменного состава и теории реактивного движения. М.: Ин-т проблем механики АН СССР, 1974.
  • Карагодин В. М. Теоретические основы механики тела переменного состава. М.: Оборонгиз, 1963. 178с.
  • Механика тел переменной массы — статья из Физической энциклопедии
  • Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики. Том 1. М.: Наука, 1977. Глава IV «Динамика точки переменной массы» Параграф 221. — Вывод уравнения Мещерского (стр.433-435).
  • Айзерман М. А. Классическая механика. 2-ое изд. М.: Наука, 1980. — 368с. Глава 3. Параграф 9. Применение основных теорем механики к движению системы переменного состава. стр.107-120.
  • Веретенников В. Г., Синицын В. А. Теоретическая механика (дополнения к общим разделам). — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 416 с. — ISBN 5-9221-0703-8 (Параграфы 2.5. Кинематика системы переменного состава. стр.71-77; 3.4. Основные динамические величины системы переменного состава. стр.91-94; 6.2. Задача о движении центра масс при взаимодействии тела с внешней сплошной средой. стр.170-172; 6.3. Теорема об изменении количества движения системы переменного состава. стр.172-180; 6.6. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к системе переменного состава. стр.200-207; 7.2. Общее уравнение аналитической динамики для системы точек переменной массы. стр.215-227.)
  • Седов Л. И. К релятивистской теории полета ракеты // Прикладная математика и механика — 1986. — Т. 50, вып. 6.
  • Седов Л. И., Цыпкин А. Г. Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма. — М.: Наука, 1989. — 272 с. — ISBN 5-02-013805-3. Глава III. параграф 4. Релятивистская теория полета ракеты.

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Уравнение_Мещерского&oldid=18368945